Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащими к ним сторонам.


Доказательство

На рисунке отрезок BD-биссектриса треугольника ABC. Докажем, что ADAB=DCBC
1) Через точку C проведем прямую, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую AB в точке E. Углы α и β равны, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и CE и секущей BC; углы γ и δ равны как соответственные при параллельных прямых BD и CE и секущей AE.
2) Поскольку BD-биссектриса треугольника ABC, то δ=α. Отсюда β=γ. Тогда треугольник CBE-равнобедренный с равными сторонам BC и BE. По теореме о пропорциональных отрезках ADAB=DCBE. Поскольку BE=BC,то ADAB=DCBC.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 8 класс; Глава 2; §11; теор. 11.4; с.78
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 6; §17; п.75; с.102