Площадь треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

Площадь треугольника можно вычислить по формуле

S=abc4R,


где a,b, c-стороны треугольника, R-радиус окружности, описанной около треугольника.


Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, площадь которого равна S, такой, что BC=a, AC=b,AB=c. Докажем, что S=abc4R.
1) Пусть A=α и радиус описанной окружности данного треугольника равен R. Площадь треугольника можно найти через две его стороны и синус угла между ними: S=12bc·sin α.
2) Из леммы о подобных треугольниках следует, что a=2R·sin α. Тогда S=12bc·sin α=12bc·a2R=abc4R.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §5; теор. 5.3; с.35