Формула площади треугольника по полупериметру и радиусу описанной окружности

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.


Доказательство

На рисунке изображен треугольник ABC, в который вписана окружность радиуса r. Докажем, что S=pr, где S-площадь данного треугольника, p-его полупериметр.
1) Пусть точка O-центр вписанной окружности, которая касается сторон треугольника ABC в точках M, N и P.
2) Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, COA:

S=SAOB+SBOC+SCOA.

3) Проведем радиусы в точки касания. Получаем OMAB, ONBC, OPCA. Отсюда:

SAOB=12OM·AB=12r·AB;
SBOC=12ON·BC=12r·BC;
SCOA=12OP·AC=12r·AC.

4) Из п.3

S=12r·AB+12r·BC+12r·AC=
=r·AB+BC+AC2=pr

Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §5; теор. 5.5; с.36