Площадь правильного многоугольника

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности.

S=12P·r


Доказательство

Рассмотрим правильный многоугольник, в который вписана окружность с центром O и радиусом r.
1) Разобьем правильный n-угольник на n треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности. Эти треугольники равны по трем сторонам.

2) Площадь каждого из этих треугольников равна 12anr, где an-сторона правильного n-угольника, r-радиус вписанной окружности. А так как площадь данного многоугольника полностью состоит из этих треугольников, то S=12P·r.
Теорема доказана.


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение Глава 12; §1; п.112; с.273
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б. "Геометрия"; ©Вентана-Граф 9 класс; Глава 1; §5; теор. 5.5; с.36
Козлова С.А. "Геометрия 7-9 класс"; ©Баласс §19.3; теор.84; с.279