Теорема о углах подобных треугольников

Если два треугольника подобны, то углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника.


Доказательство

Пусть треугольники A1B1C1 и ABC подобны. Докажем, что A1=A, B1=B и C1=C.
1) Рассмотрим сначала треугольник A1B1C1. По теореме косинусов:

B1C12=A1B12+C1A12-2·A1B1·C1A1·cos A1.

2) Подставляя сюда выражения сторон треугольника A1B1C1 и сокращая на k2, получаем:

BC2=AB2+CA2-2·AB·CA·cos A1.

3) Рассмотрим теперь треугольник ABC. По теореме косинусов:

BC2=AB2+CA2-2·AB·CA·cos A.

4) Сопоставляя полученные равенства, приходим к выводу: cos A1=cos A и, следовательно, A1=A.
Справедливость равенств B1=B и C1=C доказывается аналогично.
Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 8 класс; Глава 6; §18; п.78; с.109