Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой измеряется половиной заключенной внутри дуги.


Доказательство

I) Если хорда AB-диаметр, то дуги, заключенные внутри углов BAC и BAC1 являются полуокружностями и следовательно равны 180°. Поскольку BAC=BAC1=90°, то утверждение теоремы справедливо.

II) Если же хорда AB не является диаметром, то острый угол CAB между касательной CC1 и хордой AB равен 90°-OAB, а тупой угол C1AB равен 90°+OAB.

Обознчим буквой α величину центрального угла AOB. Тогда AB=α и ADB=360°-α. В равнобедренном треугольнике AOB угол OAB равен 12(180°-α)=90°-α2, поэтому:

CAB=90°-OAB=90°-(90°-α2)=α2.
C1AB=90°+OAB=90°+(90°-α2)=12(360°-α)

Таким образом каждый из углов между касательной CC1 и хордой AB измеряется половиной заключенной внутри него дуги.
Теорема доказана


Таблица доступности

Автор Издательство Местонахождение
Бутузов В.Ф. "Геометрия"; ©Просвещение 7 класс; Глава 3; §9; п.32; с.85
Шарыгин И.Ф. "Геометрия 7-9 класс"; ©Дрофа Глава 5; п.5.2; теор. 5.7; с.164
Погорелов А.В. "Геометрия 7-9 класс"; ©Просвещение §11; п.109;с.165